华东师大研究生院，华东师大研究生院院长
近日，华东师范大学精密光谱科学与技术国家重点实验室曾和平教授课题组在激光领域取得重要进展，该团队首次揭示了呼吸子超快激光器中的分形动力学。研究成果“Farey tree and devil’s staircase of frequency-locked breathers in ultrafast lasers”于2022年10月发表于Nature Communications上。曾和平教授和彭俊松研究员为论文的共同通讯作者，博士生吴修齐和张颖分别为论文的第一、第二作者。合作者包括英国阿斯顿大学的S.Boscolo博士和法国勃艮第大学的C.Finot教授。
“分形”一词由数学家Benoit Mandelbrot在1975年首次提出，并由此诞生了一门新的学科-分形几何学。Mandelbrot将分形定义为“分形是局部和整体以某种方式相似的形状”。分形在自然界中的一个典型例子是西兰花，西兰花每一个分支和整体的形状都是相似的。虽然分形最初只是一个数学概念，但已经在众多系统中被观察到，例如材料学、生物学、神经学、电路、网络、地理和股票价格波动等。2000年，光学孤子和分形之间的联系在理论上被建立起来（Phys. Rev. Lett. 84, 1902， 2000)。由于光孤子较为稳定，将其“分形”为多个分支需要对传输介质（例如光纤）的物理性质进行多次改变，且需要在多个位置对光孤子进行探测。这些条件在实验上很难实现，相关实验几乎无法开展。
曾和平教授团队另辟蹊径，提出并证明了激光器中的呼吸孤子(或呼吸子)可构成分形。呼吸子是参数周期性变化的局域化波包。由于呼吸子与湍流、混沌、极端事件、调制不稳定性等非线性现象密切相关，获得了学界的广泛关注。该工作首次将呼吸子和分形联系起来。研究发现呼吸频率(呼吸子演化周期的倒数)与激光器重复频率(由激光器长度决定)的比值随着光强的变化会出现一系列平台（阶梯）。平台的出现表明此时该比值是个常数。这些平台对应的数值展现出经典的分形结构-法里树。该分形结构被称为魔鬼阶梯是因为其分形维度的大小和魔鬼阶梯一致，均为0.87。平台上对应的呼吸子被称为频率锁定呼吸子，因为其呼吸频率自发地锁在激光器重复频率上，在外界扰动下保持不变。其频率稳定性比没有锁定的呼吸子高3000倍左右！
分形呼吸子的另一个特点是可以产生不受激光器腔长限制的密集频率梳。例如，该工作展示了该激光器出射的激光的梳齿密度比相同腔长的激光器大幅增加了41倍，从而实现了亚兆赫兹间距的频率梳。普通激光器要实现亚兆赫兹的梳齿间距，需要百米量级的腔长，因此很不稳定。由此可见，基于分形的呼吸子激光器作为替代方案有很强的吸引力。
该工作表明呼吸子激光器可作为一个简单的非线性系统来研究分形动力学。由于呼吸子的普遍性(微腔、BEC、流体力学等)，该工作有望激发分形在相关物理系统中的研究，分形为理解这些系统中的复杂动力学提供了一个全新的视角。更广泛地来看，描述飞秒激光器的物理模型是非线性薛定谔方程，该方程具有很强的普适性。这项工作通过实验和理论发现的非线性薛定谔方程的分形解，也将在相关的物理系统中获得关注。
近年来，曾和平教授团队在呼吸子超快激光领域做了系统性工作。提出并证实了呼吸子超快激光,包括连续呼吸子（Sci.Adv.5 eaax1110 2019）和分立呼吸子（Phys.Rev.Appl.11 044068 2019）;利用AI技术实现了其智能调控（Laser & Photon.Rev.2100191 2021）；揭示了呼吸子爆炸动力学（Phys.Rev.Appl.12 034052 2019）及呼吸子多体相互作用（Laser & Photon.Rev.2000132 2021）。这项工作得到了科技部、国家自然科学基金委、上海市科委和重庆市科委的资助。
该图形象地说明了飞秒光纤激光器中产生的呼吸子实际上是一种分形结构-法里树。进一步研究表明该法里树的维度和魔鬼阶梯一致。
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